从零开始推导傅立叶变换

Sun, 22 Mar 2026 01:57:15 +0800

历史起源

傅立叶在研究热传导方程时提出的思路，用三角函数级数表示任意周期函数

傅立叶级数推导

F.S.（Fourier Series）

概括：傅立叶级数就是用三角函数系表示周期函数的一种方法

三角函数系（1，cosx，sinx）的正交完备性：（周期内）

正交性：除自己，点乘为0

完备性：可以表示所有函数

函数点乘：在一定区间上乘积的积分；从一般向量内积类比，对应维度的数相乘，最后相加。函数可以看作无穷维的向量，每个点的乘积再求和。因为点的无穷小的特性，求和也就变成了积分。

$$ f(x) = \frac{a_0}{2}+\Sigma^{\infin}_{n=1}a_n\cos{\omega_nx}+b_n\sin{\omega_nx} $$

系数计算：

从正交性出发，欲求$a_i$便将等式两边同时在一定区间点乘对应的函数项

即为$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos{\omega_nx}\ \mathrm{d}x=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^2{\omega_nx}\ \mathrm{d}x$

同时，有这个关系

$$ \omega_n=n\omega_0\\ T = \frac{2\pi}{\omega_0} $$

求得$a_n$

$$ a_n=\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos{\omega_nx}\ \mathrm{d}x}{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^2{\omega_nx}\ \mathrm{d}x}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos{\omega_nx}\ \mathrm{d}x $$

$b_n$同理（实际上同周期的两个三角函数系只是经过相位平移的相同波形，通过辅助角公式可以化为一个周期函数$A\cos{(\omega x+\phi)}$，a和b两个参数去描述这个周期函数，对应了此合并过函数的幅度和相位）

傅立叶级数的推广

概括：在复数域对周期函数进行表示

复数域在实数域上多了一根虚轴，因此如需几何形象化表示函数，加上函数的（单）自变量（t or x），需要三个轴，即在三维空间表示复数域的函数。

对于此空间中的基底，是以不同角速度旋转的单位向量，即$e^{jn\omega_0 t}$

此时的完备正交函数系就是**$e^{jn\omega_0 t} \ n\in \mathrm{Z}$**（无需0处的额外处理）

如此，有了拓展后的傅立叶级数

$$ f(t) = \Sigma_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t} $$

系数计算：

$$ \int _{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cdot e^{-jn\omega_0t}=T\cdot c_n\\ c_n=\frac{1}{T}\int _{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cdot e^{-jn\omega_0t} $$

与实数形式的联系

根据欧拉公式：

$$ \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} $$$$ f(x) = \frac{a_0}{2}+\Sigma \frac{a_n}{2}(e^{ix}+e^{-ix})+\frac{b_n}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\\ f(x) = \frac{a_0}{2}+\Sigma \frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{ix}+\frac{1}{2}(a_n+ib_b)e^{-ix} $$

两式系数可一一对应，同时可以注意到，n绝对值相同的复数基底互为共轭，相加成对抵消了虚数部分，因此导出了函数为实数的结论。由此可以看出，实数域*F.S.*只是复数域的一种特殊情况。

傅立叶变换的推导

F.T.（Fourier Transform）

概括：和傅立叶级数形式类似的、有些渊源的积分变换

由头：非周期函数能否看成周期无限大的一种另类的周期函数，来用傅立叶级数去表示呢？

将这种想法写出数学表达式：

$$ f(t) = \lim_{T \to \infty \ \omega_0 \to 0}\Sigma_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{jn\omega_0t} \\f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega $$

傅立叶变换性质

……

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2


# 注意：后面的 Moon ID 必须连写两次
zerotier-cli orbit <Moon ID> <Moon ID>

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输入以下命令验证：

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zerotier-cli listpeers

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